INECUACIONES DE PRIMER GRADO


Una inecuación de primer grado es una desigualdad en la que la potencia de variable es uno.

 Ejemplos:

{x+2<6,\ \ } es una inecuación de primer grado.

 {3(x-1)+2[2-x-3(x+2)]\ge 5(1-x)+3, \ \ } es una inecuación de primer grado.

 {x+2<\displaystyle\frac{6}{x}, \ \ } no es una inecuación de primer grado porque la variable se encuentra en el denominador.

Resolución de una inecuación de primer grado paso a paso

 Hallar los valores de {x} que satisfacen la inecuación

 

{2-\left[-2(x+1)-\displaystyle\frac{x-3}{2}\right] \le \displaystyle\frac{2x}{3}-\displaystyle\frac{5x-3}{12}+3x}

 

1 Eliminamos primero los paréntesis y después los corchetes

 

{\begin{array}{rcl}2-\left[-2(x+1)-\displaystyle\frac{x-3}{2}\right] & \le & \displaystyle\frac{2x}{3}-\displaystyle\frac{5x-3}{12}+3x \\ && \\ 2-\left[-2x-2-\displaystyle\frac{x-3}{2}\right] & \le & \displaystyle\frac{2x}{3}-\displaystyle\frac{5x-3}{12}+3x \\ && \\ 2+2x+2+\displaystyle\frac{x-3}{2} & \le & \displaystyle\frac{2x}{3}-\displaystyle\frac{5x-3}{12}+3x \end{array}}

 

2 Para eliminar los denominadores multiplicamos ambos lados de la inecuación por el mínimo común multiplo de los denominadores que aparecen en la inecuación, es decir, por {mcm(2,3,12)=12} y simplificamos las expresiones

 

{\begin{array}{rcl}(12)\left(2+2x+2+\displaystyle\frac{x-3}{2}\right) & \le & (12)\left(\displaystyle\frac{2x}{3}-\displaystyle\frac{5x-3}{12}+3x\right) \\ && \\ (12)4+(12)2x+(12)\displaystyle\frac{x-3}{2} & \le & (12)\displaystyle\frac{2x}{3}-(12)\displaystyle\frac{5x-3}{12}+(12)3x \\ && \\ 48 + 24x + 6(x-3) & \le & 4(2x)-(5x-3)+36x \\ && \\ 48 + 24x +6x - 18 & \le & 8x - 5x + 3 + 36x \\ && \\ 30 + 30x & \le & 3 +39x \end{array}}

 

3 Despejamos las {x} al lado izquierdo de la inecuación y las constantes al lado derecho. Para esto restamos {30} y {39x} en cada lado de la inecuación y simplificamos las expresiones

 

{\begin{array}{rcl}30 + 30x-(30)-(39x) & \le & 3 +39x -(30)-(39x) \\ && \\ -9x & \le & -27 \end{array}}

 

4 Para despejar {x} multiplicamos ambos lados de la inecuación por {-1/9}. Al multiplicar ambos lados por un número negativo, se cambia el sentido del símbolo de la inecuación

 

{\begin{array}{rcl}\left(\displaystyle\frac{-1}{9}\right)(-9x) & \ge & \left(\displaystyle\frac{-1}{9}\right)(-27) \\ && \\ x & \ge & 3 \end{array}}

 

5 También podemos expresar la solución de la inecuación en forma gráfica

 

Ejercicio solucion grafica de inecuacion

6 También podemos expresar la solución de la inecuación en forma de intervalo

 

{x \in [3, \infty)






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